Campos de aplicación del Álgebra Lineal

Definición de campos. Un campo, K, es un conjunto K con dos operaciones, usualmente llamadas adición, +, y multiplicación , tal que se satisfacen las siguientes propiedades, conocidas como axiomas: 

1. El conjunto K junto con la operación de adición, +, constituye un grupo abeliano. 

2. Clausura respecto a la multiplicación. Para cada pareja de elementos k1,k2 ∈ K existe un único elemento k3 ∈ K tal que:

 · : K × K → K k1 · k2 = k3, ∀k1,k2 ∈ K. 

3. La multiplicación es asociativa

. k1 · (k2 · k3) = (k1 · k2) · k3 ∀k1,k2,k3 ∈ K. 

4. La multiplicación es conmutativa. 

k1 · k2 = k2 · k1 ∀k1,k2 ∈ K. 

5. Existencia de un idéntico multiplicativo. Existe un elemento 1 ∈ K tal que 

k1 · 1 = k1 = 1 · k1 ∀k1 ∈ K. 3

6. Existencia de un inverso multiplicativo. Para todo k1 ∈ K tal que k1 6= 0, existe un elemento 1 k1 = k −1 1 ∈ K, tal que

 k1 · k −1 1 = 1 = k −1 1 · k1. 

7. La multiplicación es distributiva respecto a la adición. Para todos k1,k2,k3 ∈ K, se tiene que

       k1 · (k2 + k3) = k1 · k2 + k1 · k3 y (k1 + k2) · k3 = k1 · k3 + k2 · k3 

Como puede observarse, los axiomas del 2 al 6, indican que el conjunto formado por K cuando se elimina el idéntico aditivo 0, denotado por K\0, constituye, junto con la operación de multiplicación, ·, un grupo multiplicativo o abeliano. El ´ultimo axioma muestra como se relacionan las dos operaciones de un campo.

Es importante señalar que los teoremas que se indicaron para grupos son aplicables por igual para ambos grupos, el aditivo y el multiplicativo, contenidos en un campo.

Ejemplos de campos. Existen muchos ejemplos de campos: 

1. Los números racionales denotado por Q, y definidos como 

Q = ½ x | x = p q , donde p,q ∈ I y q 6= 0, ¾ , junto con la operaciones usuales de adición y multiplicación forman un campo, denominado Q.

2. Los números reales denotados por R, que incluyen como subconjuntos a los n´umeros enteros, I , a los números racionales, Q, y a los números irracionales, junto con las operaciones usuales de adición, +, y multiplicación, ·, forman un campo, denominado R. 

3. Los números complejos C, 2 definidos como 

C = {a + ib | a,b ∈ R, }, 

donde i se denomina la unidad imaginaria y dos n´umeros complejos (a1 + ib1),(a2 + ib2) ∈ C son iguales, denotado a1 + ib1 = a2 + ib2, si, solo si, 

a1 = a2 y b1 = b2,

junto con las operaciones de adición 

+ : C × C → C (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2),

y multiplicación:

 · : C × C → C (a1 + ib1) · (a2 + ib2) = (a1 · a2 − b1 · b2) + i(a1 · b2 + a2 · b1),

forman un campo, denominado C. 3